矩陣基本運算與推導

 

基本語言、語法 (用元素的一般性表現來代表矩陣)

在不失一般性的情況下,以矩陣的第 i, j 元素 aij 來代表整個矩陣。

A = [A] = [aij] ( 等號之間所連結的是整個矩陣)

[A]ij = aij ( 等號之間所連結的是矩陣的一個元素 ij )

很多 矩陣 相關的性質,需要用到元素之間的具體操作,因此常用到一般性元素表法來做矩陣運算。

 

 

基本知識

何謂矩陣相等

A = B

[A]ij = [B]ij ;即 aij = bij ∀ i, j

 

何謂矩陣相加

每個元素個別相加

[C]ij = [A]ij + [B]ij

 

Prove that (AB)T = BTAT

在不失一般性的情況下,以矩陣的一般性元素表示矩陣

[(AB)T]ij = [AB]ji= Σk ajk bki = Σk bki ajk = Σk bTik aTkj = Σk [BT]ik [AT]kj = [ BT AT]ij

核對一般性元素 [M]ij = [D]ij 即表示矩陣 M = D,因此

(AB)T = BTAT ,得證。

 

A, B are hermitian matrices, is that also true for A + B ?

已知 A+ = AT*= A , B+ = BT*= B

[(A + B)+]ij = [(A + B)T*]ij = [(A + B)T]*ij = [A + B]ji* = aji*+ bji* = [AT]ij* + [BT]ij* = [A+]ij + [B+]ij = [A+ + B+]ij

得證 (A + B)+ = A+ + B+

 

問:要推導 [ ]ij 但最終只得到 bji ,怎辦?

答:bji = bTij = [BT]ij ,即所求之矩陣等於 BT